場合の数は、計算より先に「枝」を描く

条件がつくと、かけ算が使えなくなる

たとえば、同じ数字のカードがまざっている問題です。1、1、2、3、4の5枚を並べるとき、「5×4×3×2×1＝120通り」とすると数えすぎになります。1のカードが2枚あるので、同じ並びを2回ずつ数えているからです。正しくは120÷2＝60通りです。

「0をふくむカードで3けたの数を作る」「となり合ってはいけない」なども同じです。かけ算をそのまま使うと、答えがずれます。

「型」を覚える方法の落とし穴

そこで、問題の型ごとに解き方を覚えさせる方法があります。一見、効率がよさそうです。

けれども、子どもにとって本当に難しいのは、解き方を覚えることではありません。目の前の問題が「どの型か」を見分けることです。しかも型ごとの解き方は、抽象的な計算です。見分けにくい型を、抽象的な式とセットで覚える。これは子どもにとって大きな負担になります。

1. 樹形図をよどみなく書けるようにする

まずは、手が止まらずに枝を書けることが土台です。小さい数字から順に書く、と決めておくだけで、書き落としや重なりがぐっと減ります。

2. 計算は「樹形図をまとめたもの」と分かる

かけ算は、枝の本数をまとめて数えるための近道です。同じカードがある問題で割り算をするのも、樹形図を見れば「同じ枝が2本ずつある」と目で分かります。式の意味が、図とつながります。

3. 枝の本数がそろうかで、方法を選ぶ

どの分かれ道でも枝の本数が同じなら、計算で近道してかまいません。本数がばらばらなら、場合を分けて数えます。

たとえば1、1、1、2、3から3けたの数を作る問題では、枝が3本のところ、2本のところ、1本のところがまざります。だから、かけ算1回では数えられません。樹形図を描ける子は、ここに自分で気づけます。

まず書かせて、あとで直す

説明の前に、式でも図でも、思いついた並びでもよいので紙に書かせます。うまくいっている部分を先にほめて、直すのはそのあとです。

小さい数で試す

大きな問題は、まず数を小さくして書き出します。たとえば0、1、2、3から3けたの数を作るなら、百の位が1の枝だけを書きます。すると6通り。百の位が2や3のときも同じ形なので、6×3＝18通りと分かります。樹形図は、書き方しだいで時間のかかる方法ではなくなります。

「次は1回で正解する手順」を言葉にする

「気をつける」「集中する」は手順ではありません。「問題文の条件に線を引く」「0も数に入れたか確かめる」など、鉛筆で実行できる形にします。